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MatlabCVX

2025-03-27

信道增益推导

直接信道(UAV --> User)

根据自由空间路径损耗模型，

信道功率增益为： $|h_d(n)|^2 = \alpha_0 s_d(n)^{-2}$

信道幅度为： $h_d(n) = \sqrt{|h_d(n)|^2} = \sqrt{\alpha_0 s_d(n)^{-2}} = \sqrt{\alpha_0} s_d(n)^{-1}$

反射信道(UAV --> RIS, RIS --> User)

重要

RIS 反射信道由 UAV 到 RIS 和 RIS 到用户的级联组成。

UAV -> RIS：

距离 $s_{u,r}(n)$ ，功率增益： $|\mathbf{h}_{u,r}(n)|^2 = \alpha_0 s_{u,r}(n)^{-2}$

幅度： $\mathbf{h}_{u,r}(n) = \sqrt{\alpha_0} s_{u,r}(n)^{-1} \mathbf{a}_{u,r}(n)$

其中 $\mathbf{a}_{u,r}(n)$ 是 RIS 的阵列响应向量，长度为 $M$ ，模为 1。

RIS -> User：

距离 $s_{r,d}$ ，功率增益： $|\mathbf{h}_{r,d}(n)|^2 = \alpha_0 s_{r,d}(n)^{-2}$

幅度： $\mathbf{h}_{r,d} = \sqrt{\alpha_0} s_{r,d}(n)^{-1} \mathbf{a}_{r,d}(n)$

其中 $\mathbf{a}_{r,d}(n)$ 为 RIS 到用户的阵列响应向量。

UAV -> RIS -> User：

总信道为： $h_r(n) = \mathbf{h}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{h}_{u,r}(n)$

代入： $h_r(n) = (\sqrt{\alpha_0} s_{r,d}(n)^{-1} \mathbf{a}_{r,d})^T \Phi(n) (\sqrt{\alpha_0} s_{u,r}(n)^{-1} \mathbf{a}_{u,r}(n))$

化简： $h_r(n) = \alpha_0 s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \{\mathbf{a}_{r,d}^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n)\}$

总信道 $h_{\text{total}}(n)$

总信道增益为直接信道和反射信道的相干叠加： $h_{\text{total}}(n) = h_d(n) + h_r(n)$

代入： $h_{\text{total}}(n) = \sqrt{\alpha_0} s_d(n)^{-1} + \alpha_0 s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \mathbf{a}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n)$

[!note] > $h_d(n)$ 和 $h_r(n)$ 的相位未显式考虑。若需精确计算，应引入相位项，但优化中通常通过 $\Phi(n)$ 调整相位对齐。

用户接收功率推导

接收功率定义为： $P_d(n) = p |h_{\text{total}}(n)|^2$

代入 $h_{\text{total}}(n)$ ，计算功率：

$|h_{\text{total}}(n)|^2 = \left| \sqrt{\alpha_0} s_d(n)^{-1} + \alpha_0 s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \mathbf{a}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n) \right|^2$

令 $g_r(n) = \mathbf{a}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n)$ （复数），则：

$|h_{\text{total}}(n)|^2 = \alpha_0 s_d(n)^{-2} + 2 \sqrt{\alpha_0} \alpha_0 s_d(n)^{-1} s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \text{Re}\{g_r(n)\} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} |g_r(n)|^2$

因此：

$P_d(n) = p|h_{\text{total}}(n)|^2 = p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + 2 \sqrt{\alpha_0} \alpha_0 s_d(n)^{-1} s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \text{Re}\{g_r(n)\} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} |g_r(n)|^2 \right)$

速率计算

用户传输速率： $R_d(n) = \log_2 \left( 1 + \frac{P_d(n)}{\sigma^2} \right)$

代入 $P_d(n)$ ： $R_d(n)$ = $\log_2(1 + \frac{p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + 2 \sqrt{\alpha_0} \alpha_0 s_d(n)^{-1} s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \text{Re}\{g_r(n)\} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} |g_r(n)|^2 \right)}{\sigma^2})$

可能的模型简化

相位对齐：

$g_r(n) = \mathbf{a}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n)$ 的值取决于 RIS 相位调整。

若 $\Phi(n)$ 优化使 $g_r(n)$ 与 $h_d(n)$ 同相，则 $\text{Re}\{g_r(n)\}$ 最大化，增强信号。

简化形式：

若忽略相位，或假设 $g_r(n)$ 已优化为实数（如 $|g_r(n)| \leq M$ ），

可近似为：

$P_d(n) \approx p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} M^2 \right)$

代入 $P_d(n)$ ： $R_d(n) = \log_2(1 + \frac{p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} M^2 \right)}{\sigma^2})$

公式总结

$h_{\text{total}}(n) = \sqrt{\alpha_0} s_d(n)^{-1} + \alpha_0 s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \mathbf{a}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n)$

$P_d(n) = p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + 2 \sqrt{\alpha_0} \alpha_0 s_d(n)^{-1} s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \text{Re}\{g_r(n)\} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} |g_r(n)|^2 \right)$

$R_d(n)$ = $\log_2(1 + \frac{p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + 2 \sqrt{\alpha_0} \alpha_0 s_d(n)^{-1} s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \text{Re}\{g_r(n)\} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} |g_r(n)|^2 \right)}{\sigma^2})$