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外观

等价无穷小

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2025-11-20

等价无穷小（Equivalent Infinitesimal） 是微积分中的重要概念，用于描述两个函数在极限过程中趋于零的相对速度。等价无穷小在极限计算、近似计算和泰勒展开中有广泛应用。

基本定义

定义：设 α(x)\alpha(x) 和 β(x)\beta(x) 是当 x→x0x \to x_0 时的无穷小量，若：

lim⁡x→x0α(x)β(x)=1\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1

则称 α(x)\alpha(x) 和 β(x)\beta(x) 是等价无穷小，记作 α(x)∼β(x)\alpha(x) \sim \beta(x)。

重要性质

  1. 传递性：若 α∼β\alpha \sim \beta，β∼γ\beta \sim \gamma，则 α∼γ\alpha \sim \gamma

  2. 对称性：若 α∼β\alpha \sim \beta，则 β∼α\beta \sim \alpha

  3. 等价替换原理：在极限计算中，可以用等价无穷小进行替换：

    • 若 α∼α′\alpha \sim \alpha'，β∼β′\beta \sim \beta'，且 lim⁡α′β′\lim \frac{\alpha'}{\beta'} 存在
    • 则 lim⁡αβ=lim⁡α′β′\lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \frac{\alpha'}{\beta'}

  4. 乘法保持性：若 α∼α′\alpha \sim \alpha'，β\beta 为任意无穷小

    • 则 α⋅β∼α′⋅β\alpha \cdot \beta \sim \alpha' \cdot \beta

[!important] > 重要：等价无穷小替换只能在乘除运算中使用，不能在加减运算中直接使用。 如：

正确：lim⁡x→0sin⁡x⋅tan⁡xx2=lim⁡x→0x⋅xx2=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \tan x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x^2} = 1

错误：lim⁡x→0sin⁡x−tan⁡xx3≠lim⁡x→0x−xx3\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3} \neq \lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^3}

常见的等价无穷小

当 x→0x \to 0 时：

三角函数类

sin⁡x=x−x36+o(x3)∼xcos⁡x=1−x22+x424+o(x4)tan⁡x=x+x33+o(x3)∼xarcsin⁡x=x+x36+o(x3)∼xarctan⁡x=x−x33+o(x3)∼x\begin{aligned} \sin x &= x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \quad \sim \quad x \\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) \\ \tan x &= x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \quad \sim \quad x \\ \arcsin x &= x + \frac{x^3}{6} + o(x^3) \quad \sim \quad x \\ \arctan x &= x - \frac{x^3}{3} + o(x^3) \quad \sim \quad x \end{aligned}

指数对数类

ex=1+x+x22+x36+o(x3)ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)∼xax=1+xln⁡a+x22(ln⁡a)2+o(x2)(a>0,a≠1)\begin{aligned} e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) \\ \ln(1+x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \quad \sim \quad x \\ a^x &= 1 + x\ln a + \frac{x^2}{2}(\ln a)^2 + o(x^2) \quad (a > 0, a \neq 1) \end{aligned}

幂函数类

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+o(x2)∼1+αx（当∣x∣≪1时）1+x=1+x2−x28+o(x2)∼1+x2\begin{aligned} (1+x)^{\alpha} &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2) \\ &\sim \quad 1 + \alpha x \quad \text{（当} |x| \ll 1 \text{时）} \\ \sqrt{1+x} &= 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2) \quad \sim \quad 1 + \frac{x}{2} \end{aligned}

一些好用的等价无穷小公式

  1. (1+x)1x(1+x)^{\frac{1}{x}} 的展开

当 x→0+x \to 0^+ 时：

(1+x)1x=e(1−x2+11x224+o(x2))(1+x)^{\frac{1}{x}} = e\left(1 - \frac{x}{2} + \frac{11x^2}{24} + o(x^2)\right)

  1. 幂函数余弦形式

当 x→0x \to 0 时：

1−cos⁡αx∼α2x21 - \cos^{\alpha}x \sim \frac{\alpha}{2}x^2

推导：

1−cos⁡αx=1−(1−x22+o(x2))α=1−(1−αx22+o(x2))=α2x2+o(x2)\begin{aligned} 1 - \cos^{\alpha}x &= 1 - \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)^{\alpha} \\ &= 1 - \left(1 - \frac{\alpha x^2}{2} + o(x^2)\right) \\ &= \frac{\alpha}{2}x^2 + o(x^2) \end{aligned}

例题 1

计算极限：

lim⁡x→0(1+2x)1x+e2(x−1−2x)x2\lim_{x\to 0}\frac{(1+2x)^{\frac{1}{x}} + e^2(x-\sqrt{1-2x})}{x^2}

解：

将分子分成两部分分别处理：

第一部分： (1+2x)1x(1+2x)^{\frac{1}{x}} 的展开

令 t=2xt = 2x，则当 x→0x \to 0 时，t→0t \to 0：

(1+2x)1x=(1+t)2t=[(1+t)1t]2=[e(1−t2+11t224+o(t2))]2=e2(1−t+47t224+o(t2))=e2(1−2x+47x26+o(x2))\begin{aligned} (1+2x)^{\frac{1}{x}} &= (1+t)^{\frac{2}{t}} = \left[(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^2 \\ &= \left[e\left(1 - \frac{t}{2} + \frac{11t^2}{24} + o(t^2)\right)\right]^2 \\ &= e^2\left(1 - t + \frac{47t^2}{24} + o(t^2)\right) \\ &= e^2\left(1 - 2x + \frac{47x^2}{6} + o(x^2)\right) \end{aligned}

第二部分： e2(x−1−2x)e^2(x-\sqrt{1-2x}) 的展开

1−2x=(1−2x)12=1−x−x22+o(x2)x−1−2x=x−(1−x−x22+o(x2))=2x−1+x22+o(x2)\begin{aligned} \sqrt{1-2x} &= (1-2x)^{\frac{1}{2}} = 1 - x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \\ x - \sqrt{1-2x} &= x - \left(1 - x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = 2x - 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \end{aligned}

因此：

e2(x−1−2x)=e2(2x−1+x22+o(x2))e^2(x-\sqrt{1-2x}) = e^2\left(2x - 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)

合并两部分：

分子=e2(1−2x+47x26+o(x2))+e2(2x−1+x22+o(x2))=e2[(1−1)+(−2x+2x)+(47x26+x22)+o(x2)]=e2(47x26+3x26+o(x2))=e2(50x26+o(x2))=e2(25x23+o(x2))\begin{aligned} \text{分子} &= e^2\left(1 - 2x + \frac{47x^2}{6} + o(x^2)\right) + e^2\left(2x - 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) \\ &= e^2\left[\left(1-1\right) + \left(-2x + 2x\right) + \left(\frac{47x^2}{6} + \frac{x^2}{2}\right) + o(x^2)\right] \\ &= e^2\left(\frac{47x^2}{6} + \frac{3x^2}{6} + o(x^2)\right) \\ &= e^2\left(\frac{50x^2}{6} + o(x^2)\right) = e^2\left(\frac{25x^2}{3} + o(x^2)\right) \end{aligned}

计算极限：

lim⁡x→0(1+2x)1x+e2(x−1−2x)x2=lim⁡x→0e2(25x23+o(x2))x2=e2⋅253=25e23\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{(1+2x)^{\frac{1}{x}} + e^2(x-\sqrt{1-2x})}{x^2} &= \lim_{x\to 0}\frac{e^2\left(\frac{25x^2}{3} + o(x^2)\right)}{x^2} \\ &= e^2 \cdot \frac{25}{3} = \frac{25e^2}{3} \end{aligned}