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外观

曲线积分

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2025-11-21

曲线积分（Line Integral） 是多元函数积分学的重要内容，分为第一类曲线积分（对弧长的积分）和第二类曲线积分（对坐标的积分）。曲线积分在物理中有广泛应用，如计算功、质量、环流等。

  1. 第一类曲线积分：∫Lf(x,y,z) ds\int_L f(x,y,z)\,ds

    • 对弧长的积分
    • 与路径方向无关

  2. 第二类曲线积分：∫LP dx+Q dy+R dz\int_L P\,dx + Q\,dy + R\,dz

    • 对坐标的积分
    • 与路径方向有关

第一类曲线积分

第一类曲线积分定义为：

∫Lf(x,y,z) ds=lim⁡∥Δs∥→0∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δsi\int_L f(x,y,z)\,ds = \lim_{\|\Delta s\| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta s_i

其中 Δsi\Delta s_i 是曲线段的小段弧长。

若曲线 LL 的参数方程为：

{x=x(t)y=y(t)z=z(t),t∈[α,β]\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}, \quad t \in [\alpha,\beta]

则：

∫Lf(x,y,z) ds=∫αβf(x(t),y(t),z(t))x′2(t)+y′2(t)+z′2(t) dt\int_L f(x,y,z)\,ds = \int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}\,dt

例题 1

设 LL 为球面 x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1 与平面 x+y+z=0x+y+z=0 的交线，求 ∮Lxy ds\oint_L xy\,ds。

解：

方法一：参数法

建立坐标系变换：

{x+y2=cos⁡θ32y=sin⁡θz=−(x+y)\begin{cases} x+\frac{y}{2} = \cos\theta \\ \frac{\sqrt{3}}{2}y = \sin\theta \\ z = -(x+y) \end{cases}

解得：

{x=12cos⁡θ−16sin⁡θy=63sin⁡θz=−12cos⁡θ−16sin⁡θ,θ∈[0,2π]\begin{cases} x = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{6}}\sin\theta \\ y = \frac{\sqrt{6}}{3}\sin\theta \\ z = -\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{6}}\sin\theta \end{cases}, \quad \theta \in [0,2\pi]

计算弧长微元：

ds=x′2+y′2+z′2 dθ=dθds = \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,d\theta = d\theta

因此：

I=∫02πx(θ)⋅y(θ) dθ=∫02π(33sin⁡θcos⁡θ−13sin⁡2θ)dθ=∫02π(36sin⁡2θ−13sin⁡2θ)dθ=−13∫02πsin⁡2θ dθ=−13π\begin{aligned} I &= \int_0^{2\pi} x(\theta) \cdot y(\theta)\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\theta\cos\theta-\frac{1}{3}\sin^2\theta\right)d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\sin2\theta-\frac{1}{3}\sin^2\theta\right)d\theta \\ &= -\frac{1}{3}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = -\frac{1}{3}\pi \end{aligned}

方法二：对称性技巧

注意到在 LL 上：x+y+z=0x+y+z=0，x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1

利用恒等式：

(x+y+z)2−(x2+y2+z2)3=xy+yz+zx\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{3} = xy+yz+zx

由于 x+y+z=0x+y+z=0，所以 xy+yz+zx=−13xy+yz+zx = -\frac{1}{3}

因此：

∮Lxy ds=13∮L(xy+yz+zx) ds=−13∮Lds=−13⋅2π=−2π3\oint_L xy\,ds = \frac{1}{3}\oint_L(xy+yz+zx)\,ds = -\frac{1}{3}\oint_L ds = -\frac{1}{3}\cdot 2\pi = -\frac{2\pi}{3}

第二类曲线积分

格林公式

定理：设 DD 是单连通区域，LL 是 DD 的正向边界，P(x,y)P(x,y)、Q(x,y)Q(x,y) 在 DD 上具有一阶连续偏导数，则：

∮L+P dx+Q dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_{L^+} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy

例题 1

求 I=∫L(exsin⁡y−b(x+y))dx+(excos⁡y−ax)dyI=\int_L\left(e^x\sin y-b(x+y)\right)dx+\left(e^x\cos y-ax\right)dy，其中 a,ba,b 为正常数，LL 为从点 A(2a,0)A(2a,0) 沿曲线 y=ax−x2y=\sqrt{ax-x^2} 到点 O(0,0)O(0,0) 的弧。

解：

构造闭合回路：I=∮L+OA→−∫OA→I = \oint_{L+\overrightarrow{OA}}-\int_{\overrightarrow{OA}}

应用格林公式：

∮L+OA→=∬D1(∂Q∂x−∂P∂y)dσ−∫02a(−bx)dx=(b−a)∬D1dσ+2a2b=(b−a)⋅πa22+2a2b\begin{aligned} \oint_{L+\overrightarrow{OA}} &= \iint_{D_1}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma - \int_0^{2a}(-bx)dx \\ &= (b-a)\iint_{D_1}d\sigma+2a^2b \\ &= (b-a)\cdot\frac{\pi a^2}{2}+2a^2b \end{aligned}

其中 D1D_1 是半圆区域，面积为 πa22\frac{\pi a^2}{2}。

例题 2：挖洞法

计算曲线积分 I=∮L+xdy−ydx4x2+y2I=\oint_{L^+}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}，其中 LL 是以 (1,0)(1,0) 为中心，RR 为半径的圆周(R>1R>1)，取逆时针方向。

解：

被积函数在原点有奇点，采用"挖洞法"。

作小椭圆 L1:4x2+y2=ε2L_1:4x^2+y^2=\varepsilon^2（ε>0\varepsilon>0 且足够小）

该椭圆可写为：x2(ε2)2+y2ε2=1\frac{x^2}{(\frac{\varepsilon}{2})^2}+\frac{y^2}{\varepsilon^2}=1

根据格林公式：

I=∮L+=∮L+−L1++∮L1+=0+∮L1+I = \oint_{L^+} = \oint_{L^+-L_1^+}+\oint_{L_1^+} = 0+\oint_{L_1^+}

在 L1L_1 上应用格林公式：

∮L1+=1ε2∬D2 dσ=2ε2⋅π⋅ε22=π\oint_{L_1^+} = \frac{1}{\varepsilon^2}\iint_D 2\,d\sigma = \frac{2}{\varepsilon^2}\cdot\pi\cdot\frac{\varepsilon^2}{2} = \pi

例题 3：补线+挖洞

计算 I=∫L+(x+y)dx−(x−y)dyx2+y2I=\int_{L^+}\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2}，其中 LL 为从点 A(π,−π)A(\pi,-\pi) 沿曲线 y=πcos⁡xy=\pi\cos x 到点 B(−π,−π)B(-\pi,-\pi) 的弧段。

解：

构造闭合回路并处理奇点：

I=∮L+=∮L+−L1++OA→+∮L1+−∮OA→I = \oint_{L^+}= \oint_{L^+-L_1^++\overrightarrow{OA}}+\oint_{L_1^+}-\oint_{\overrightarrow{OA}}

其中 L1L_1 是小圆 x2+y2=ε2x^2+y^2=\varepsilon^2。

计算得到：

I=∮L1+−∮OA→=1ε2∬DL1+(−2)dσ−∫−ππx−πx2+π2dx=2arctan⁡1−2π=−3π2\begin{aligned} I &= \oint_{L_1^+}-\oint_{\overrightarrow{OA}} \\ &= \frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{D_{L_1^+}}(-2)d\sigma-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x-\pi}{x^2+\pi^2}dx \\ &= 2\arctan1-2\pi = -\frac{3\pi}{2} \end{aligned}

路径无关的条件

曲线积分 ∫LP dx+Q dy\int_L P\,dx+Q\,dy 与路径无关的充要条件是：

∂Q∂x=∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}

例题 1

设函数 f(x,y)f(x,y) 在 xOyxOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 ∫L2xy dx+Q(x,y) dy\int_L 2xy\,dx+Q(x,y)\,dy 与路径无关，并且对任意 tt 恒有：

∫(0,0)(t,1)2xy dx+Q(x,y) dy=∫(0,0)(1,t)2xy dx+Q(x,y) dy\int_{(0,0)}^{(t,1)}2xy\,dx+Q(x,y)\,dy = \int_{(0,0)}^{(1,t)}2xy\,dx+Q(x,y)\,dy

求 Q(x,y)Q(x,y)。

解：

由路径无关条件：

∂Q∂x=2x  ⟹  Q(x,y)=x2+f(y)\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x \implies Q(x,y) = x^2+f(y)

利用给定条件：

∫01(t2+f(y))dy=∫0t(1+f(y))dyt2+f(1)=t+∫0tf(y)dy\begin{aligned} \int_0^1(t^2+f(y))dy &= \int_0^t(1+f(y))dy \\ t^2+f(1) &= t+ \int_0^t f(y)dy \end{aligned}

对 tt 求导：

2t=1+f(t)  ⟹  f(t)=2t−12t = 1+f(t) \implies f(t) = 2t-1

因此：

Q(x,y)=x2+2y−1Q(x,y) = x^2+2y-1

齐次函数的积分性质

若函数 f(x,y)f(x,y) 满足 f(tx,ty)=tmf(x,y)f(tx,ty) = t^m f(x,y)，则：

xfx+yfy=mf(x,y)xf_x + yf_y = mf(x,y)

例题 1

设在上半平面 D={(x,y)∣y>0}D=\{(x,y)|y>0\} 内函数 f(x,y)f(x,y) 具有偏导数，且对任意 t>0t>0 都有 f(tx,ty)=t−2f(x,y)f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)。证明对 DD 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 LL，都有：

∫Lyf(x,y) dx−xf(x,y) dy=0\int_L yf(x,y)\,dx-xf(x,y)\,dy = 0

证明：

对给定条件取对数并求导，或直接使用欧拉齐次函数定理。

由 f(tx,ty)=t−2f(x,y)f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y) 知 f(x,y)f(x,y) 是 −2-2 次齐次函数。

根据齐次函数的性质：

xfx+yfy=−2f(x,y)xf_x + yf_y = -2f(x,y)

对积分应用格林公式：

∫Lyf dx−xf dy=∬D[∂(−xf)∂x−∂(yf)∂y]dσ=∬D[−f−xfx−f−yfy]dσ=∬D[−f−(xfx+yfy)]dσ=∬D[−f−(−2f)]dσ=∬Df dσ\begin{aligned} \int_L yf\,dx-xf\,dy &= \iint_D\left[\frac{\partial(-xf)}{\partial x}-\frac{\partial(yf)}{\partial y}\right]d\sigma \\ &= \iint_D\left[-f-xf_x-f-yf_y\right]d\sigma \\ &= \iint_D\left[-f-(xf_x+yf_y)\right]d\sigma \\ &= \iint_D\left[-f-(-2f)\right]d\sigma = \iint_D f\,d\sigma \end{aligned}

由于 f(x,y)f(x,y) 是 −2-2 次齐次函数，在 DD 上积分结果为零，故原命题得证。